Сформулировать Теорему Пифагора сейчас могут уже не все, кто слышал имя Пифагора. Некоторые скромно довольствуются тем, что знают о ее существовании, но это - все, что они знают. Им больше и не надо, ведь Теорема Пифагора, хоть и присутствует в школьном курсе геометрии, но по сути своей находится далеко за пределами простых человеческих надобностей - сдачу в магазине посчитать, например, или годовую бух.отчетность подбить...
Иногда на помощь (если кого-то вдруг невзначай спросят о Пифагоре и его Теореме) приходит стишок-дразнилка - "Пифагоровы штаны во все стороны равны" и невинная улыбка до ушей (О! - что-то умное сказал!) в большинстве случаев помогающая выкрутиться из сложной ситуации, в которой совсем не хочется показаться полным дураком (Да, он неграмотный!), но еще больше не хочется неуместно показаться "Самым умным" или представителем "Хомос Ботаникус".
Поэтому, совсем трудно вообразить, каков процент из народонаселения всеяРуси может не моргнув глазом взять и доказать ее - пресловутую Теорему Пифагора - о штанах и треугольниках. Я, например, этого сделать не мог. В школе я всегда имел по математике твердую пятерку, но не помню, что бы в 7-м (в 7-м ли?...) классе наша математичка нам приводила доказательство этой теоремы. Кажется Валентина Викторовна преподнесла нам ее как аксиому опираясь на авторитетность древнегреческого философа. А может быть просто я пропустил этот момент, а дальше это уже нигде не требовалось и в институте мы на мат.анализе и аналитической геометрии занимались делами куда более сложными, Теорему Пифагора не доказывали.
Где-то год назад я вдруг уперся в мысль (а Вы когда-нибудь упирались в мысль? или... может быть когда-нибудь мысль упиралась в Вас?) что к своим 40-ка годам я не знаю, как доказывается Теорема Пифагора.
Я ехал в метро и у меня было минут 30 времени на раздумья, тетрадка и ручка. Задумайтесь между этими строками о том, как хорошо быть математиком! Какие счастливые они - математики, если для счастья им всего-то надо это : бумага, ручка и урна (выкидывать неверные решения). Это сильно воодушевляет и сразу хочется опять стать математиком. Но подумав немного можно догадаться, что философом быть еще счастливее, потому, что философу нужно для счастья еще меньше - бумага и ручка. Урна не нужна. А у меня ее и не было с собой, и может быть поэтому исписав страницы три я так ничего не доказал, запутался в уравнениях и вдруг услышал название своей станции - выходить пора, урок математики окончен.
Потом я эту тетрадку куда-то далеко засунул, урной так и не разжился и вспомнил о Теореме Пифагора лишь позавчера - ближе к ночи.
- Непорядок - подумал я, взял лист бумаги, ручку и...
Давайте еще немного поговорим о Пифагоре, потому, что за свершениями великих порой теряются они сами. За первым полетом Гагарина мы не заметили самого человека, потому, что ореол славы вокруг него был в тысячи раз больше скромного летчика ростом в полтора метра, а за культом личности Сталина тоже было не замечено много всего такого, что лучше совсем не знать.
Вот про Пифагора знать было бы полезно. Я к сожалению знаю мало, да и вообще трудно знать о человеке сталь давней эпохи что-то достоверное - чем дальше в прошлое уходит его тень, тем более искаженной она выглядит, все большими небылицами обрастает. И в какой-то момент становится понятно, что нет никакой возможности разделить вымысел, догадки и объективную историческую хронику - все сильно условно, метафорично, символично...
Родился Пифагор 26 веков назад на греческом острове Самос и не носил штанов (в древней Греции штанов не носили). Это был красивый лицом и отлично сложенный юноша с ясным пытливым взором - тогда и десятилетия спустя его сравнивали с Аполлоном, а кто-то даже пускал слухи о том, что связь между Аполлоном и Пифагором действительно есть и одно бедро Пифагора из золота и в этом он чуть-чуть Аполлон. Но звали его тогда не Пифагором. Это прозвище он получил лет через 40 за свою способность убеждать речью (Пифагор по древне-гречески - "Говорящий Убедительно").
За полвека он посетил Египет, Вавилон, Индию. Его интересовали науки и мудрости стран востока. Постигнув многое из этого он вернулся на Самос и попытался создать на острове свою школу. Я не говорю "философскую школу", потому, что не было тогда философии и само понятие "философии" годы спустя принес в наш мир именно Пифагор, но это случится на на Самосе, а на севере Италии в Кротоне, где бежавший вскоре с Самоса от преследования за свои аристократические убеждения Пифагор провел более 30 лет, создал крупнейшую в ту эпоху школу (уже философскую) и подарил миру множество открытий, теорем и мыслей, которые до сих пор интересны и часто выше понимания большинства из ныне живущих, как Теорема Пифагора.
Сейчас бы философскую школу Пифагора назвали бы сектой. Всякий входящий в нее должен был добровольно расстаться со всем своим имуществом в пользу школы. Всякий вступающий в эту философскую общину давал довольно серьезные клятвы и обещания, которые сейчас очень коррелируют со вступительными процедурами в то или иное религиозное общество. Так, в частности, ученики Пифагора клялись не причинять насилие, не проливать крови, как человеческой, так и животных, не есть мяса и не поддерживать тех, кто занимается забоем скота, хранить тайны своей философской школы, тайны учителя и тайны своих друзей, не обучать других за деньги, а только за то, что ученик достоин быть обученным и приобщенным к знаниям и мудрости. Полный курс обучения в Пифагорейской школе длился 15 лет. 5 из них ученик ничего особенного не делал, но ему воспрещалось разговаривать - молодой пифагореец не имел права проронить ни слова, будь он на базаре - приобретая еду, будь он в школе среди других молодых философоф, будь один на один с собой в пустыне. Следующие пять лет ученик молча слушал лекции Пифагора не смея задавать вопросы и даже видеть лица своего учителя. Только последние 5 лет он имел право спрашивать, дискутировать, спорить. Но к тому времени все подобные желания, как правило, иссякали и ученики продолжали слушать - учителя или богов, но именно в этом времяпровождении им и открывались тайники наук и искусств.
Одновременно в школе обучалось до 2000 учеников, а по тем временам это было - население небольшого города, а в Древней Греции даже небольшой город мог быть самостоятельным государством и статус независимого государства у Пифагорейской школы был - эта небольшая страна в которой правили Философия, Математика, Астрономия и Музыка Сфер (впервые Музыка Сфер была упомянута тоже Пифагором) просуществовала более трех десятилетий без всякой армии, казначейства и политики, а когда в Кротоне вспыхнула смута, школа была разорена и 90-летний Пифагор погиб с мечом в руке.
Кто-то из учеников Пифагора спасся. В частности Платон, благодаря которому споры о некогда существовавшей Атлантиде не стихают и по сей час. Философы-беженцы рассеялись по всей Ойкумене и знания их стали достоянием греческого и римского миров. Впоследствии на них базировались учения Птолемея, Аристотеля и даже Николая Коперника. Многие мысли высказанные Пифагором и его учениками в их изначальном виде обсуждаются до сих пор : это вопросы смысла бытия и странствия души в подлунном мире, ведь согласно Пифагору душа перерождается многократно терпя муки в нашем мире и очищаясь от греховных страстей и привычек, и чем строже мы соблюдаем Пифагоровы заповеди о непричинении вреда другому и непролитии крови человеческой и животных, тем скорее наша душа обретет пристанище в небесном мире, где нет страдания.
Впрочем, о Пифагоре и его последователях можно говорить очень долго. Жаль, что у нас не всегда на это есть время и тем более жаль, что как правило разговор этот начинает "штанами", "штанами" и заканчивается...
Итак. Поздним вечером я вновь начертил на листе бумаги прямоугольный треугольник. Примерно такой, как на иллюстрации выше. Для тех, кто подзабыл или не знал, я объясню на всякий случай: Прямоугольным он зовется за то, что один из его углов прямой (90° по транспортиру). Причем, можно догадаться, что двух прямых углов в одном треугольнике не бывает - остальные два обязательно острые. Во всем остальном прямоугольные треугольники могут различаться - их стороны прилегающие к прямому углу могут быть как равными, так и сильно различающимися по длине. Я нарисовал один из бесчисленного количества вариантов. Но сути это не меняет и от различий в соотношении сторон треугольника мое доказательство не потеряет справедливости.
Треугольник ABC с прямым углом при вершине C имеет катеты a и b, и гипотенузу c. Катетами зовутся стороны треугольника образующие прямой угол (перпендикулярные друг другу). Гипотенуза соединяет катеты и лежит напротив прямого угла. Гипотенуза - всегда самая длинная сторона треугольника.
Требуется доказать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Если бы где-то поблизости был нарисован квадрат со стороной c, то c2 как раз была бы его площадь. Предлагаю нарисовать такой квадрат - построить его на стороне c нашего треугольника.
Я осмелился так же провести две прямые линии - одну из вершины A параллельно стороне треугольника BC (получилась прямая AA'), другую из вершины B параллельно стороне AC (прямая BB'). Меня заинтересовала точка их пересечения C1 и новая, построенная таким образом фигура.
Нетрудно заметить, что вновь построенный треугольник ABC1 во всем равен треугольнику ABC поскольку ACBC1 - прямоугольник, а диагональ AB делит его на два конгруэнтных (равных, совпадающих при наложении) треугольника. Стороны BC = AC1 = b , AC = BC1 = a, угол при вершине C1 - прямой.
Теперь нам ничто не мешает построить аналогичным образом по аналогичному треугольнику на каждой стороне квадрата ABDE.
Что бы Вам не запутаться в чертеже, я раскрасил вновь построенные треугольники в немного разные цвета, но сами треугольники, будучи конгруэнтными (равными по всем своим параметрам) очень удачно сложились в мозаику внутри нашего квадрата ABDE со стороной c покрыв почти всю его площадь (c2) и пустым осталось лишь маленькое квадратное окошко C1C2C3C4.
Теперь мы знаем, что площадь большого квадрата (ABDE) равна четырем площадям треугольника ABC и одно попугайское крылышко плюс площадь маленького квадрата в середине (C1C2C3C4) - для простоты обозначим ее S.
Из школьного же курса геометрии мы помним, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это и доказывать не надо, ведь мы только-что это видели воочию, когда строили первый внутриквадратный треугольник являющийся ровно половиной площади от прямоугольника ACBC1.
Распишем это выражение:
Нам осталось узнать значение S.
Из рисунка видно, что, поскольку треугольник ABC1 = треугольнику ABC и отрезок AC = отрезку BC1 = a.
В тоже время, BDC2 = треугольнику ABC и отрезок BC2 = отрезку BC = b.
Получается, что сторона квадрата C1C2C3C4 = b - c, а его площадь S = (b - a)2.
(b - a)2 - бином Ньютона второй степени или говоря более простым школьным языком - квадрат разности.
раскроем скобки:
Подставим значение S в предыдущее равенство:
Обратите внимание на два одинаковых по модулю слагаемых, но участвующих в нашем равенстве с разными знаками: 2ab и - 2ab. Они взаимовычитаются и исчезают из выражения.
И посмотрите, что в нем остается:
Все. Теорему мы доказали. У меня ушло на это пол тетрадного листа и пять минут времени. Почему это не получилось год назад? - я очевидно пошел в рассуждениях другим путем и заплутал в шуме мчавшегося по тоннелю поезда. А тут - в спокойной обстановке - все благоприятствовало успеху.
Пифагор был не первым из мыслителей, кого волновало решение этой задачи. Древние египтяне уже знали секрет треугольника со сторонами кратными целым числам 3, 4, 5 и с помощью веревок соответствующей длины точно отмеряли прямые углы при строительстве пирамид - они решали задачу обратного характера - при каких соотношениях сторон треугольник будет прямоугольным. Что-то об этом знали мыслители Вавилона. Но в общем виде и с алгебраической точностью задачу удалось впервые решить Пифагору. Он долго не мог найти это решение и в его поисках долго постился и молился двенадцати олимпийцам - древне-греческим языческим богам - проводя в медитациях дни и недели. И когда решение было найдено, Пифагор счел его сильнейшим из своих достижений, что вполне соответствует реальности, ведь за доказательство этой теоремы прежде всего мы и знаем теперь Пифагора.
В последующие века и тысячелетия были предприняты тысячи попыток найти новые способы доказательство теоремы Пифагора. И они были найдены. На сегодняшний день их известно около четырех сотен. То, которое привел я Вам, значится в числе ортодоксальных, но есть и совершенно уникальные решения с применением дифференциальных уравнений и пр. Думаю, что они имеют совсем другой смысл - не доказать то, что сто раз уже доказано, а просто попрактиковаться в решении дифференциалов, что для математиков, безусловно, полезно, а нам может показаться совсем непонятным.
В заключении я хочу немного вернуться к моему доказательству и обратить Ваше внимание на частный случай, когда у прямоугольного треугольника катеты равны и треугольник является равнобедренным. Тогда наш маленький квадратик вырождается. Длина его стороны становится равной нулю, но этот частный случай не умаляет справедливости решения.
